Calculs des filiations

Éléments mathématiques ….

Il s’agit de résoudre une série d’équations appelées différentielles, une pour chaque membre de la filiation. Pour un membre donné, l’équation est obtenue en écrivant que la variation du nombre d’atomes est égale à la différence des noyaux qui sont formés à partir de la désintégration du père et ceux qui disparaissent en se transformant en noyau fils. Pour un radioélément donné, le nombre de noyaux qui disparaissent par seconde est égal à l’activité a = λ N, où N représente le nombre de noyaux présents de l’espèce radioactive (NB : la probabilité de désintégration λ est déduite simplement de la période radioactive T : λ = 0,693/T).

En absence de régénération du noyau, on observe une décroissance simple en fonction du temps selon une loi en exp(-λt) appelée exponentielle. Dans le cas plus général d’une filiation naturelle, la solution de l’équation différentielle est une combinaison des exp(-λt) propres à chacun de ces ancêtres. La combinaison est déterminée à partir des données connues au départ. Dans le cas des réacteurs en fonctionnement, les noyaux radioactifs sont également produits à partir de captures de neutrons. Il faut modifier le terme source.

Par exemple, si l’on s’intéresse à la filiation d’un échantillon initialement pur d’uranium-238, toutes les activités des descendants sont nulles au départ. L’activité du “patriarche”, l’uranium-238, est calculée à partir de sa masse dans l’échantillon.

Exemple 1 : Filiation dans un combustible usé

L’exemple montre l’évolution d’un mélange de plutonium 241, d’américium-241 et de Neptunium-237, trois actinides de la famille (4n+1) présents dans le combustible usé des réacteurs. Les quantités initiales sont tirées de la composition détaillée d’une tonne de combustible. Les trois radioéléments sont présents au départ. A l’échelle de 100 ans, le noyau père (plutonium-241) a le temps de disparaître à peu près complétement ; l’américium commence à croître (alimenté par les désintégrations du plutonium) avant de décroître. Quant au Neptunium, alimenté par la désintégration de l’américium, il faudrait attendre des millénaires pour commencer à voir sa décroissance.

Exemple 2 : Début de la filiation de U-238

L’exemple montre que les premiers descendants à courte période de l’uranium (44 jours et 6,7 heures) atteignent très vite l’équilibre radioactif et que au bout de quelques mois leur activité est devenue égale à celle de l’uranium. Pour observer l’évolution sur des temps allant de quelques heures à des milliards d’années il faut employer des échelles logarithmiques.

Exemple 3 : Suite de la filiation de U-238

Les activités des descendants de courte durée s’identifient rapidement à celle de leur premier ancêtre à vie longue. L’exemple montre la lente arrivée à l’équilibre à l’échelle du million d’années des deux descendants à vie longue de l’uranium 238 : l’uranium 234 (T=245 000 ans) et le thorium 230 (T= 75 000 ans).